Gruppi e sottogruppi. Sottogruppi normali. Quozienti. Teoremi di isomorfismo. Azioni e gruppi di permutazioni. Teoremi di Sylow. Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti. Grado di un'estensione. Campi di spezzamento, estensioni normali ed estensioni di Galois. Gruppo di Galois. Corrispondenza di Galois. Campi finiti.
Conoscenze:
Basi della teoria dei gruppi, concetto di "azione di un gruppo", rudimenti della teoria di Galois, applicazione delle conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi.
Capacita’ acquisite (al termine del corso):
Lo studente sara’ in grado, sulla base delle conoscenze acquisite, di risolvere problemi di base in teoria dei gruppi, dei campi e delle equazioni.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Algebra I
Corsi raccomandati: Geometria I
Metodi Didattici
CFU: 6
Numero di ore totali del corso: 150
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 84
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Scritto e orale
Programma del corso
Parte I: Teoria dei Gruppi
Operazioni, potenze, omomorfismi e isomorfismi.
Gruppi, definizioni e sottogruppi. Classi laterali, indice, Teorema di Lagrange. Il gruppo $S_3$. Gruppi ciclici, ordine di un elemento.
Sottogruppi normali, criterio di normalit\`a, gruppo quoziente.
Omomorfismi e isomorfismi, nucleo di un omomorfismo. Teoremi di omomorfismo (primo e secondo). Teorema di corrispondenza. Prodotto di sottogruppi. Prodotto diretto di gruppi. Automorfismi, coniugio. Gruppi diedrali.
Permutazioni, cicli e decomposizione in cicli. trasposizioni e segnatura. Gruppo simmetrico e gruppo alterno, Teorema di Cayley. Azioni di gruppi su insiemi, teorema orbita--stabilizzatore, equazione delle orbite. Applicazioni: punti fissi per azioni di p-gruppi. L'azione per coniugio, centro di un p-gruppo, la formula delle classi, normalizzanti e centralizzanti. Teoremi di Sylow.
Parte II: Teoria dei Campi
Quozienti di $F[x]$ con $F$ campo. Elementi algebrici e polinomio minimo. Estensioni semplici.
Estensioni di campi. Grado di un estensione, formula dei gradi.
Elementi algebrici e trascendenti,. Estensioni semplici . Estensioni algebriche, chiusura algebrica in un estensione. Campo dei numeri algebrici. Campi di spezzamento, esistenza ed $F$-isomorfismi. Estensioni normali, caratterizzazione dei campi di spezzamento. Radici multiple, polinomio derivato, polinomi ed estensioni separabili.
Gruppo di Galois. Estensioni di Galois e ordine del loro gruppo di Galois. Azione del gruppo di Galois come gruppo di permutazioni. Campi finiti: esistenza e unicita'; radici dell'unita' in campi finiti. Lemma di Artin. Connessione di Galois.