Alcune idee sul modo in cui si apprende la matematica.
Breve storia del concetto di derivata.
Reali come estensioni decimali illimitate.
Perché é necessario introdurre i numeri reali.
Modelli associati alle funzioni elementari.
Difficolta' associate al concetto di limite.
Una possibile definizione di derivata che non usa il limite.
Una funzione continua ma non derivabile in alcun punto.
Analisi critica della definizione di integrale alla Riemann e alla Darboux.
Come insegnare gli integrali.
Materiale reperito da molte fonti, indicate su http://web.math.unifi.it/users/bianchi/programma_corso_didattica_calcolo_in_linea.html
Obiettivi Formativi
Riflettere sugli aspetti didattici dei concetti del calcolo differenziale e integrale
Prerequisiti
Analisi Matematica 1 e 2
Metodi Didattici
Lezioni frontali
Modalità di verifica apprendimento
Lezione e esame orale
Programma del corso
1. Introduzione
Una presentazione elementare e intuitiva dei concetti fondamentali del calcolo: D. Tall, Setting the calculus straight, [Tal1]
Alcune idee sul modo in cui si apprende e si pensa la matematica: D. Tall, J. P. Mejia Ramos, Reflecting on post-calculus reform, [TMR]
G. Polya, Ten commandments for teachers [Pol]
Breve storia dei concetti: J. V. Grabiner,The changing concept of change: the derivative from Fermat to Weierstrass [Gra]
2. Riflessione critica su alcuni argomenti di Analisi
2.1. Numeri reali.
Un minimo di storia ([Giu1, cap 7] o appendice al cap 1 di [Giu2]).
Tre modi di introdurli ([Wik1] o [Giu2, Capp. 1, 2]): Assiomatico (mostrare gli assiomi, riflessione sulla forma dell’assioma di completezza); Costruttivo con sezioni di Dedekind; Costruttivo con classi di equivalenza di successioni di Cauchy di razionali;
Sviluppare in dettaglio la costruzione come estensioni decimali illimitate
aspetti teorici (T. Gowers, What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? [Gow1])
la costruzione in ogni dettaglio (M. Burchi, Numeri reali: che c’è di sbagliato nel pensarli come decimali infiniti?, Tesi di Laurea Magistrale, a.a. 2012-13 [Bur])
aspetti didattici (T. Leviatan, Introducing real numbers: when and how?, ICME 04 [Lev]),
Perché é necessario introdurre i numeri reali (T. Gowers, A dialogue concerning the need for the real number system [Gow2])
Varie forme equivalenti per l’assioma di completezza. ([Giu2, Cap. 1 §4, Cap. 2 §13])
Razionali e rappresentazioni decimali periodiche ([CoRo, pag. 109])
Irrazionalitá di √2- ([Ric]) π ed e ([AiZi] Aigner, Ziegler, Proofs from the book, Springer)
2.2. Funzioni.
porre molta attenzione a presentare i modelli associati alle funzioni elementari: modelli lineari, regressione lineare, esponenziale, crescita o decadimento, logaritmo, scale logaritmiche, semplificazione delle moltiplicazioni, regoli calcolatori, ph e decibel, scale musicali, datazione con il carbonio (Wikipedia: Logarithms [Wik2]).
logaritmi e formula asintotica per n! ([Bal, capitolo 6];
alcuni problemi inversi legati alla Legge di Torricelli ([Gro])
Come funziona Google [Rou, Eis].
2.3. Limite.
uno dei concetti più difficili: descrizione del processo mentale necessario per comprendere appieno il concetto di limite e la sua definizione rigorosa (David Tall et al, Calculus and Technology)
confusione negli studenti tra limiti e continuità. Non introdurre il limite partendo da esempi di funzioni continue, ma da funzioni che in quel punto non son definite (es. rapporto incrementale)
alcuni esempi per riflettere: cambia il limite se si modifica il valore nel punto?;
Applet che mostra visivamente usando il grafico il “gioco” degli ϵ e δ e la convergenza di una successione (MathDL: Applets and Activities for real analysis: sequence convergence; continuity http://mathdl.maa.org/mathDL/47/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3320) Applet che costruisce tabelle numeriche di funzioni ( Visual Calculus)
2.4. Derivata.
aspetti principali:
pendenza della retta tangente al grafico (chiarire il concetto di retta tangente; definizione data in [MaWe, þag. x]);
rapidità di variazione istantanea (tabella per spiegare questo agli studenti)
intuizione del concetto di derivata: definizione di derivata alla “David Tall” (facendo zoom successivi del grafico di f in (c,f(c)), il grafico sembra “sempre di più” una retta: la derivata di f in c è la pendenza della retta);
una possibile definizione di derivata che non usa il concetto di limite (J. Marsden, A. Weinstein, Calculus unlimited [MaWe, pagg.ix–xii e cap. 2]);
attenzione a chiarire bene il passaggio dal concetto di derivata in un punto a quello di derivata come funzione;
una funzione continua ma non derivabile in alcun punto ([Puc, sez. 3.4])
Applets: Derivative plotter (MathDl, stesso nome); Applets su problemi di massimo e minimo (http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Derivate_Max_Min) etc
2.5. Integrale.
Definizione di integrale alla Riemann e alla Darboux ed equivalenza tra le due definizioni. E’ possibile semplificare la definizione restringendo la classe delle partizioni, ma non troppo per evitare il rischio di ottenere un integrale diverso (ad esempio se si prendono solo partizioni equispaziate e si valuta la funzione sempre negli estremi destri). (Wikipedia: Riemann integral [Wik3]; Wikipedia: Darboux integral[Wik4]);
Esempi: la funzione di Dirichlet (funzione caratteristica dei razionali in [0,1]) non è integrabile secondo Riemann ([Wik3]); la funzione su [0,1] definita come f(x) = 1∕n se x = m∕n (con m e n coprimi) e 0 altrove è discontinua esattamente nei razionali ed è integrabile ([Ric, p.36]);
Una funzione limitata è integrabile secondo Riemann se e solo se l’insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla (H. Rademacher [Rad]);
presentare agli studenti metodi di integrazione approssimata (punti medi, trapezio, Simpson) e almeno un risultato di stime degli errori. Non concentrarsi troppo sull’ampliare la classe di funzioni di cui si riesce a scrivere esplicitamente la primitiva. Quest’ultimo è solo un aspetto dell’integrazione e non deve assumere una importanza sproporzionata. Si deve far capire agli studenti che l’integrale non è un concetto difficile;
Teorema fondamentale del calcolo e sua trasposizione ”applicata” : la variazione totale tra t = a e t = b di una grandezza è uguale all’integrale tra a e b della velocità istantanea di variazione di quella grandezza. Una dimostrazione efficace del teorema.
Una proposta didattica: come insegnare gli integrali [Bra].
il problema della clessidra [Ric2]
Applets: Somme di Riemann; Integrals Sketch (http://www.dangries.com/Flash/IntegralSketch/IntegralSketch.html); Accumulated Change and Antiderivative Plotter (MathDl, stesso nome);